《厦门理工学院学报》  2021年第1期 79-84   出版日期:2021-02-28   ISSN:1673-4432   CN:35-1289/Z
若干函数连续性与间断性的理论与应用拓展


众所周知,在数学分析里面,函数的连续性有不少的应用,比如利用函数连续性求极限,利用函数的连续性推导介值定理和零点存在定理,进而可以用于证明方程根的存在性以及利用牛顿法等求根的近似解,许多文献对此进行了诸多研究[17]。例如:文献[3]深入剖析了连续函数的概念,对连续函数的3种常见定义方式进行了分析,并以连续性的判断为例分析了数学思维的特点,介绍了一个一般文献中不常见的重要结论,讨论了连续函数概念在理论、应用和数学概念进一步发展的拓展;文献[4]通过漏斗原理揭示了连续、可导、可微及可积之间的内在关系;文献[5]用邻域方式给出函数极限概念的正面叙述和否定叙述的统一分析定义式,并借助二元关系刻画了函数极限的存在性和不存在性,以及函数在一点处的连续和函数一致连续等特性;文献[6]利用函数连续性研究了高等代数与数学分析在某些方面的互通性;文献[7]从教学角度阐释了高等数学对分课堂教学模式的特点和意义;文献[8]对代数拓扑进行了比较全面和深刻的论述;文献[910] 则利用函数的连续性方法解决了抛物方程粘性解的存在性问题。利用粘性解的方法处理退化抛物方程的适定性问题,文献[1115]做了一系列有益的探讨。然而利用函数连续性的最值原理讨论三元函数梯度存在性问题以及利用变上限积分的连续性与可导性问题鲜有研究。因此,本文对变上限积分函数的连续性和可导性做了比较深入的探讨,证明这类函数具有几乎处处可导的性质;从闭区域上的连续函数必有最值原理出发,论证了三元函数梯度的存在性及其表达式,并利用BV函数的一些基本性质,为一类金融数学方程BV解间断点的分布提供一个几何描述特征。 1变上限积分的函数连续性 首先回顾一下定积分理论的一些基本结论:(1)如果函数f(x)是区间[a,b]上的连续函数,那么它是可积函数;(2)如果在[a,b]上有界函数f(x)只有有限个间断点,那么它是可积函数;(3)单调有界函数在有限区间上是可积的。 如果有界函数f(x)在[a,b]上有无穷个间断点呢?例如,经典的狄立克雷函数f(x)=1,x∈[0,1]是有理数0,x∈[0,1]是无理数在[0,1]上是不可积的。但下面的例子说明,也有可积的情形发生。 厦门理工学院学报2021年 第1期詹华税,等:若干函数连续性与间断性的理论与应用拓展 例1[2]考虑按如下定义的函数: 如果x是既约的真分数pq,则f(x)=1q,如果x区间[0,1]的其他的点,则f(x)=0。 设区间[0,1]分成长度Δxi<λ的若干部分。取任意自然数n,把所有的部分区域分成两类:1)把包含分母q≤n的数pq的那些区间列为第一类,因为这些数只有有限数k 根据这点,如果把和数∑(ωiδxi)分成两个并分别估计每个的值,就得到∑(ωiδxi)<2knλ+1n,先取n="">2ε,然后取λ<ε4kn,就有∑(ωiδxi)><ε。这就证明了函数的可积性。 例1说明,即使存在无限个间断点,那么函数仍然有可能是可积的。="" 其次来讨论一下变上限积分函数的有关性质。众所周知,如果函数f(x)是区间[a,b]的可积函数,那么变上限积分函数f(x)="∫xaf(t)dt是[a,b]上的连续函数。同时,如果函数f(x)是区间[a,b]的连续函数,那么F(x)是可导的,且F′(x)=f(x)。另外,如果有界函数f(x)在[a,b]上只有有限个间断点,那么在这些间断点,F(x)左右导数存在,但可能不相等,即:除了有限个点外,F(x)都是可导的。但例1说明了F(x)还有可能有无限个不可导点,那么是否有可能存在F(x)处处不可导呢?这就涉及到是否存在这样一个重要的问题:是不是任何一个连续函数都可以表示成另外一个可积函数的变上限积分的形式?" 由于在f(x)的连续点,f′(x)="f(x)总是成立。魏尔斯特拉斯曾经利用无穷级数的理论构造出一个处处连续但不可导的例子φ(x),那么只要能证明变上限积分函数F(x)至少有一个可导的点,那么φ(x)就不能表示为另外一个可积函数的变上限积分形式。" 实际上,众所周知,任何单调上升的函数是几乎处处可导的。于是当f(x)≥0但不恒等于0时,变上限积分函数f(x)="∫xaf(t)dt就是单调上升的函数,因此是几乎处处可导的。对于一般的可积函数f(x),有f(x)=f+(x)+f-(x),其中:f+(x)=max{f(x),0},f-(x)=min{f(x),0}。所以对于一般的函数,变上限积分函数F(x)=∫xaf(t)dt也是几乎处处可导的。这个结论反过来说明例1中的函数的间断点虽然有无限多个,但其测度为0。" 通过以上的研究分析表明,变上限积分函数是几乎处处可导的函数,因此比一般的连续函数具有更好的可利用的分析性质。="" 2用函数连续性论证三元函数梯度的存在性="" 本节利用函数的连续性说明具有连续偏导数的三元函数梯度的存在性。="" 方法1设三元函数f(x,y,z)在点p(x,y,z)处具有连续偏导数,f(x,y,z)在点p(x,y,z)处沿方向l→="cos" (αi→)+cos="" (βj→)+cos="" (γk→)的方向导数为fl→="fxcos" α+fycos="" β+fzcos="" γ。那么,函数沿哪个方向的变化率最大或最小呢?="" 由于f(x,y,z)在点p(x,y,z)处具有连续偏导数,因此方向导数g(α,β,γ)="fl→=fxcos" γ是闭区域{(α,β,γ)0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π}上的连续函数。由闭区域上连续函数的性质知,g(α,β,γ)有最大值与最小值。记a="f(x,y,z)x,b=f(x,y,z)y,c=f(x,y,z)z,则g(α,β,γ)=acos" α+bcos="" β+ccos="" γ。="" 为了求函数g(α,β,γ)在条件cos2α+cos2β+cos2γ="1下的最大值与最小值,构造拉格朗日函数F(α,β,γ)=acos" γ+λ(cos2α+cos2β+cos2γ-1)。对该函数求一阶偏导数,="" 并令这些偏导数等于零,得方程组fα="-asin" α-2λcos="" αsin="" α="0Fβ=-bsin" β-2λcos="" βsin="" β="0Fγ=-csin" γsinγ="0Fλ=cos2α+cos2β+cos2γ-1=0。" 若sin="" α≠0,sin="" β≠0,sin="" γ≠0,则:cos="" cos="" γ="ca2+b2+c2,或cos" 或="" 以上3种情况,结合式(1)和式(2),有:g(α,β,γ)="a±aa2+b2+c2+b±ba2+b2+c2+c±ca2+b2+c2=±a2+b2+c2=±fx2+fx2+fx2。于是有" g(α,β,γ)max="fx2+fx2+fx2,(3)" g(α,β,γ)min="-fx2+fx2+fx2。(4)" 定理1设函数f(x,y,z)在点p(x,y,z)具有连续偏导数,那么其方向导数沿某一方向的变化率最大,沿其反方向的变化率最小,且最大值和最小值分别为式(3)和式(4)。="" 方法2设l→与z轴的夹角为φ,l→在xoy面上的投影向量与x轴的夹角为θ,0≤θ≤2π,0≤φ≤π。定义g(θ,φ)="fl→=fxsin" φcos="" θ+fysin="" φsin="" θ+fzcos="" φ。="" 那么类似于前面的证明,同样可以得到定理1。这个方法的优点是不用条件极值的方法,直接求闭区域0≤θ≤2π、0≤φ≤π的最大值和最小值问题。="" 方法3对具有连续偏导数的三元函数u="f(x,y,z),称向量f(x,y,z)=fxi→+fyj→+fzk→为该函数在点(x,y,z)的梯度。对于任意的在点(x,y,z)的方向向量l→,如果记θ是梯度向量f与l→的夹角,那么方向导数fl→=f·e→=|f|cos" θ。="" 这表明方向导数fl→是梯度向量f在l→上的投影。当方向l→与梯度方向一致时,θ="0,cos" θ="1,方向导数有最大值,即沿梯度方向的方向导数达到最大值。反之,当θ=π,cos" 比较以上3种方法,方法3最为简洁。但作为连续函数性质的运用,方法1和方法2无疑有启发性的意义。这表明,梯度反映了具有连续偏导数的三元函数在每一点的变化率具有最大值和最小值。另外,从证明过程中可以看出,具有连续偏导数是论证梯度存在性的一个充分条件。如果函数f(x,y,z)在点p(x,y,z)可微,虽然方向导数是存在的,但未必一定连续。所以是否有梯度的存在性就需要另文研究。="" 3一类金融数学方程bv解的间断点分布问题="" 本节考虑如下柯西问题:="" x1x1u+ux2u-tu="f(x1,x2,t,u),(x1,x2,t)∈R2×(0,T),(5)" u(x1,x2,0)="u0(x1,x2)," (x1,x2)∈r2。(6)="" 该问题来源于金融数学[910],文献[9]考虑了代理人在具有风险前提下的决策问题时引进了该问题,u是效用函数,文献[10]证明了问题(5)~(6)粘性解的存在性。接着,文献[16]讨论了该解的内部正则性,从而证明了文献[10]中的粘性解是古典解。="" 采用众所周知的oleinik线性化方法[17],="" 文献[11]首先考虑了方程(5)的初边值问题,并且也得到了古典解的存在性。为解决该问题的整体解,本文引进以下符号函数的逼近函数。="" 对于任意给定的小的正数η,令hη(s)="2η1-1η|s|+,gη(s)=∫s0hη(τ)dτ,那么limη→0" gη(s)="sgn(s),s∈(-∞,+∞)。定义Iη(u-k)=∫u-k0gη(s-k)ds,Bη(u,k)=∫uksgη(s-k)ds,其中k为任意常数。" 定义1若u满足以下条件:i)="" ux1∈l2loc(qt);ii)="" 对任意的φ∈c20(qt),φ≥0,有qt[iη(u-k)φt-bη(u-k)φx2+iη(u-k)φx1x1+f(x,t,u)gη(s-k)φ]dxdt-qtg′η(u-k)(x1u)2φdxdt≥0;iii)对任意00,(ν,Y-X)<0的极限。对于固定的t,记Γtu,(νt1,νt2)和ut±分别是u(x1,x2,t)的所有的间断点集合,Γtu的单位法向量和u(x1,x2,t)的渐近极限。同时,记Γ1={(x,t)∈Γu:ν1(x,t)=ν2(x,t)=0},Γt1={x∈Γtu:(x,t)∈Γ1},Γ2={(x,t)∈Γu:ν21(x,t)+ν22(x,t)>0},Γt2={x∈Γtu:(x,t)∈Γ2}。 定理2在2维Hausdorff测度意义下,H(Γu)=0。 证明显然,对于任意的(x,t)∈Γ1,ν3=νt=1。此时对于Γ1任意的Borel子集U,记U在t上的投影是Ut,那么,根据文献[14], 在1维Hausdorff测度意义下,H(Ut)=0。对任意的φn(x,t)∈C∞0(QT)与ψj(t)∈C∞0(0,T),根据BV解的定义有QTφn(x,t)ψj(t)ut=QT[ux1x1φnψj(t)-12u2x2φnψj+fφnψj]dxdydt。对任意的Borel子集G(0,T),不妨设limn→∞φn=χU,limj→∞ ψj=χG,上面的两个等式均指特征函数。于是让j→∞,有QTφn(x,t)χGut=QT[ux1x1φnχG-12u2x2φnχG+fφnχ]dxdydt=0。再让n→∞得到∫G∫Utut=QTχU(x,t)χG(t)ut=0。同时根据文献[14],ut(U)=U(u+-u-)νtdH。 因为(u+-u-)νt=(u+-u-)≠0,所以由U的任意性,H(Γ1)=0。又因为就3维测度而言,Γu是0测度集。于是,对于任意UΓ2的Borel子集,且U为紧致的,那么,由于u∈BV(QT),Ux1udxdt=0,Ux2udxdt=0,所以,ux1(U)=U(u+-u-)νx1dH=∫T0∫Ut(u+-u-)νt1dHt=ux2(U)=U(u+-u-)νx2dH=∫T0∫Ut(u+-u-)νt2dHt=0。根据UΓ2的任意性,知道H(Γ2)=0。于是,H(Γu)=0。这就说明u的间断点最多只能是曲线,而不可能是一个曲面。 4结论 本文对函数的连续性在数学分析本身的理论进行了研究,揭示了变上限积分函数几乎处处可导。同时,通过对具有连续偏导数的三元函数梯度的存在性展开讨论,说明了一般可微函数未必存在梯度。这两点可以说填补了经典数学分析理论研究的空白,具有一定的理论意义。 本文研究了一类金融数学方程式(5)BV解的不连续性点的分布几何特征。本文的结果说明,BV函数作为一类广义偏导数为可积的函数,可以用光滑函数逼近,但BV函数本身不是连续函数。金融数学方程(5)反映了代理人在具有风险前提下决策问题的效用函数u的发展变化情况,本文得到u的间断点最多只能是曲线,对于金融风险决策的实际应用具有一定的理论参考。