《厦门理工学院学报》  2021年第1期 85-90   出版日期:2021-02-28   ISSN:1673-4432   CN:35-1289/Z
d>4情形下广义布朗单的截口常返性


自控制论创始人Wiener将布朗运动纳入严格的数学模型后,布朗运动(或Wiener过程)的理论不断得以发展完善并被广泛应用于数学、物理、化学、生物、金融等学科,已成为研究其他随机过程的重要理论基础[14]。尽管如此,许多随机现象依赖的指标参数不只一个,例如在气象研究中,除时间外,还要考虑经度、纬度和高度等表示位置的指标信息。与高等数学中将一元函数推广到多元函数相似,多指标随机过程是单指标随机过程的自然发展[56]。讨论多指标随机过程的性质时,经常会涉及常返性[710]。常返性一般包括点常返性、区域常返性与截口常返性等。当d>1时,布朗运动是非点常返;当d>2N时,N指标d维Wiener过程是非区域常返[9]。Fukushima[11]指出,当d>4时,d维布朗单是非截口常返。文献[12]和[13]分别探讨了d维迷向α阶(α∈(0,2])稳定Levy单的区域常返性与截口常返性,推广了d维布朗单(α=2)的结果。Chen等[14]进一步获得了多指标算子稳定Levy过程象集与指标集的豪斯多夫维数下界。 保留布朗单的其他概率特性不变,广义布朗单将布朗单对应的方差测度由Lebegue测度推广为更一般的LebegueStieltjes测度。与单指标的广义布朗运动不同,虽然广义布朗单不能经适当的时间变换转化为标准布朗单[1516],但广义布朗单承担着布朗单无法取代的作用[16]。张润楚[17]证明,对R2+中两类较一般的集,广义布朗单都具有一般宽过去马氏性和Levy马氏性。对点常返性问题,林火南[18]讨论了多指标广义Wiener过程为点常返所需的条件;张春生[19]将指标集按等测度分割成可数个小方体,在一定条件下推导了广义Wiener过程点常返的HewittSavage 01律。上述研究均应用了可数分割指标集的方法,然而,鲜见关于d维广义布朗单截口常返性的研究。由于截口常返必然区域常返,因此,可通过截口常返性来研究过程的区域常返性,而区域常返性对研究广义布朗单的概率性质特别是其样本轨道性质十分重要。为此,本文在利用方差测度函数的等高线进行可数分割指标集的基础上,研究广义布朗单在d>4且满足较一般条件下的截口常返性。 1记号与预备知识 N(0,1)为服从标准正态分布的随机变量。Rd表示d维欧氏空间,RN+=[0,+∞)N表示指标集空间,R2+表示两指标平面中的x轴或y轴的正半轴,IA表示集合A的示性函数。当i=j,δi,j=1,否则δi,j=0。L(A)表示集合A的Lebegue测度,a∧b=min{a,b},as表示概率论中的几乎必然成立,允许同一常数符号c,C表示不同的常数。 厦门理工学院学报2021年 第1期朱能辉,等:d>4情形下广义布朗单的截口常返性 设对应的方差测度函数为F的一维广义布朗单为W={W(s,t),s,t≥0},满足: 1)W={W(s,t),s,t≥0}为均值为零的高斯过程; 2)Cov(W(s1,t1),W(s2,t2))=F(s1∧s2,t1∧t2),s1,s2,t1,t2≥0; 3)ω∈Ω,W(·,ω)是R2+上的连续函数。 称W={(W1(s,t),W2(s,t),…,Wd(s,t)),s,t≥0}是以F1,F2,…,Fd为方差测度的d维广义布朗单,其中,W1,W2,…,Wd为相互独立的方差测度,分别为F1,F2,…,Fd的一维广义布朗单。 广义布朗单的方差测度是更一般的LebegueStieltjes测度,其未必具有布朗单的Scaling性质,不能经适当的时间变换转化为标准布朗单,从而增加了研究其截口常返性的难度,这就需要进一步假设方差测度函数满足一定条件。 b>a>0,c>0,固定s>0,记 Tc(s)=inf{t:F(s,t)=c},Γc={(s,t)∈R2+:a≤s≤b,F(s,t)=c}。(1) 式(1)中:F(s,t)=∫s0∫t0f(u,v)dvdu;f(s, t)为F(s, t)的密度函数。式(1)中的Tc(s)是方差测度函数F在水平为c的等高线上的点所对应的t轴坐标,即(s,Tc(s))∈Γc;易知:Tc(s1)≥Tc(s2),00,c>0,等高线Γc,s=a,s=b以及s轴所围成部分的F测度值有上界: ∫ba∫Tc(s)0f(s,t)dtds≤C(a,b)c(logc)2。(2) 在d>4且满足条件A下,证明d维广义布朗单的截口常返性需要用到引理1、引理2和引理3。 引理1X={Xt, t≥0}是α阶d维严格稳定过程,令Q(x,a,T)=Px{t>T,|X(t)|α,存在C:=C(d, α),使得 Q(x,a,T)≤C·aT1/αd-α,T>0。(3) 证明该引理证明可参见文献[20]中定理4的证明。 引理2设F(s, t)为关于L测度绝对连续的LS测度函数,W={W(s,t),s,t≥0}是以F为对应方差测度的d维广义布朗单,固定s0>0,设Xt=W(s0,Tt(s0)),则X={Xt,t≥0}为一标准布朗运动。 证明依题意,只须证明Cov(X(i)t,Xjs)=δi,j(s∧t)。事实上,i,j=1,2,…,d,Cov(X(i)t,X(j)s)=δi,j(F(s0,Tt(s0)∧Ts(s0)))=δi,j(s∧t)。 引理3设d>2,则存在C>0,使得s0>0,ε>0和T>0,有 Px{t>T,|W(s0,t)|0,则{W(s0,t),t≥0}是方差测度为F(s0,t)的广义布朗运动。 记Tt(s0)=inf{r≥0:F(s0,r)=t},Xt=W(s0,Tt(s0)),由F(s0,t)关于t单调知X={Xt,t≥0}为标准布朗运动。因此 Px{t>T, |W(s0,t)|<ε}>F(s0,T),|X(t′)|<ε}。(5) 由引理1知,式(4)得证。="" 2主要研究结果="" 为方便起见,不妨设01,设已定义Sk,j-1(j≥1),则 Sk,j=inf{s>sk,j-1:F(s,T2k(Sk,j-1))-F(Sk,j-1,T2k(Sk,j-1))=2} 。(6) 式(6)使得在矩形[Sk,j-1,Sk,j]×[0,T2k(Sk,j-1)]的F测度值为2。 记Hk表示由等高线Γ2k+2,s=a,s=b和s轴所围成部分的F测度,则由条件A,有 Hk=∫bads∫T2k+2(s)0f(s,t)dt≤(2k+2)(ln(2k+2))2。(7) 结合式(7),可知介于[a,b)之间的Sk,j点的个数不多于 Hk2+1≤2k(ln(2k+2))2≤k22k,k≥2。(8) 因此,若介于等高线Γ2k+2下方且位于s=a和s=b的形如[Sk,j-1,Sk,j]×[0,T2k(Sk,j-1)]的矩形个数为nk,则nk≤k22k。不妨设Sk,nk=b,易知a=Sk,0<…>4,W={W(s,t),s,t≥0}为满足条件A的d维广义布朗单,则 P{(s,t)∈∪qn+1j=1Δk,j:|W(s,t)|0∩n≥1{s>0:t≥n,|W(s,t)|<ε}。(21) 当s="">0,s-1/2W(s,·)表示标准布朗运动,W(s,·)是一广义布朗运动,Ld是使W(s,·)为区域常返的广义布朗运动的s全体,故Ld=,意味着对所有的s>0,W(s,·,ω)是非区域常返的,此时广义布朗单也必不是截口常返的。 定理2当d>4且W为满足条件A的d维广义布朗单,则Ld=,as。 证明只须证明, 对任意0<+∞, ld∩[a,b]=",as。" 由定理1,存在c:="C{a,b,d},使得当d">4时,有 ∑∞n=1P{(s,t)∈∪qn+1j=1[S′n+1,j-1,S′n+1.j]×[T-12n(S′n+1,j-1),∞],|W(s,t)|<ε} 由borelcantelli引理,知="" p{除有限个n之外,(s,t)∈∪qn+1j="1[S′n+1,j-1,S′n+1.j]×[T-12n(S′n+1.j-1),∞],使得|W(s,t)|<ε}=0。(23)" 即:除有限个n之外,w∪qn+1j="1[S′n+1,j-1,S′n+1,j]×[T-12n(S′n+1,j-1),∞]∩Bε=,as。" 定理2得证。="" 3结论="" 本文在利用方差测度函数的等高线定义对指标集进行可数分割的基础上,研究广义布朗单在d="">4且满足较一般条件下的截口常返性,证明了当d>4时,广义布朗单为非截口常返的。所需要的条件A其实是一个相当一般的条件,常见的LebegueStieltjes测度均满足: 1)当F(s,t)=st,此时就是d维布朗单,对应方差测度为Lebegue测度且Tc(s)=c/s,等高线Γc,s=a,s=b和s轴所围成部分的F测度满足: ∫ba∫Tc(s)0f(s,t)dtds=lnbac≤C(a,b)c(lnc)2。(24) 2)当F(s,t)=F1(s)F2(t),对应的方差测度函数为F(s,t)且Tc(s)=c/F1(s),等高线Γc,s=a,s=b和s轴所围成的部分的F测度: ∫ba∫Tc(s)0f(s,t)dtds=∫ba(c/F1(s))d(F1(s))=cln(F1(b)/F1(a))≤C(a,b)c(lnc)2。(25) 3)当F(s,t)=eest-e,则G(s,t)=eestestt;est=ln(c+e), 因此Tc(s)=ln(ln(c+e))/s,故 ∫ba∫Tc(s)0f(s,t)dtds=∫baG(s,Tc(s))|Tc(s)=ln(ln(c+e))/sds=(c+e)ln(c+e)ln(ln(c+ε))ln(b/a)≤C(a,b)c(lnc)2。(26)