《厦门理工学院学报》  2021年第1期 91-96   出版日期:2021-02-28   ISSN:1673-4432   CN:35-1289/Z
脉冲系统中闭集稳定性与集值映射连续性的关系


脉冲动力系统是连续动力系统的自然推广,它所描述的系统行为因在其发展过程中受到突然的扰动而导致许多意想不到的有趣现象,比相应的连续动力系统的行为更复杂,也更丰富,从而能够为许多自然现象的模型刻划提供更为适合的理论框架。近年来,脉冲动力系统的研究引起了许多数学工作者的极大兴趣,有关这一领域的诸多研究成果可参阅文献[115]。定义在一般度量空间上的脉冲动力系统的研究始于Kaul,他在文献[13]中研究了脉冲动力系统中轨道的极限集、回复性、稳定性等许多性质。后来,Ciesielski也在这一领域做了一系列的重要工作,特别值得一提的是,他利用脉冲动力系统中的截口理论给出了脉冲时间函数连续的充要条件[45],这些工作对深入研究脉冲动力系统的性质和应用起着极为重要的作用。此后,Bonotto以及他的研究团队也获得了脉冲动力系统中一系列与连续动力系统相对应的重要结果[68]。 与此同时,本文作者及合作者也对一般度量空间上的脉冲动力系统进行了深入的研究并得到了许多有意义的结果,如脉冲轨的极限集和极限集映射[910]、Lyapunov拟稳定性[11]、Zhukovskij拟稳定性[12]。 类似于连续动力系统,在脉冲动力系统中,闭集的稳定性同样是一个极为重要的性质,它与脉冲轨的拟稳定性、回复性、吸引子等诸多概念和性质有着密切的联系。而作为脉冲动力系统中一类特殊闭集的极限集,其稳定性又与相应的极限集映射的连续性有着千丝万缕的联系[910]。目前,关于脉冲动力系统稳定性的研究大多集中在轨道的稳定性上,而脉冲系统中有关极限集局部稳定性与相应集值映射连续性间关系的研究成果尚不多见。本文在文献[13]上的基础上,在脉冲动力系统中引入闭集在某一点处连续的概念,讨论脉冲动力系统中极限集在某一点处的稳定性与相应极限集映射在该点处的连续性之间的联系。 1基本概念及性质 设X=(X,ρ)是一个度量空间,ρ是其上的度量。称三元组(X,π,R+)为X上的一个半动力系统,其中R+是非负实数集,π:X×R+→X是一个连续函数并且满足如下2个条件: (i)对任意x∈X,有π(x,0)=x (ii)对任意x∈X,s,t∈R+,有π(π(x,s),t)=π(x,s+t)。 通常情况下,将一个半动力系统(X,π,R+)简记成(X,π)。 厦门理工学院学报2021年 第1期李克华,等:脉冲系统中闭集稳定性与集值映射连续性的关系 对每一个x∈X,映射πx:R+→X定义如下:πx(t)=π(x,t),显然πx是连续的,我们称之为x的轨道。为方便起见,将π(x,t)简记成xt。因此,若AX,BR+,则AB={xt:x∈A,t∈B}。集合C+(x)={x}R+称为通过点x的正半轨。C+(x)的闭包记作K+(x),即K+(x)=C+(x)。对任意t≥0及x∈X,定义F(x,t)={y:π(y,t)=x}。同时,对任意Δ[0,+∞)及DX,记F(D,Δ)=∪{F(x,t):x∈D,t∈Δ}。 接下来给出脉冲半动力系统的定义。四元组(X,πM,I)称为脉冲半动力系统,其中(X,π)是一个半动力系统,MX是一个非空闭集,I:M→X是连续映射且满足对任意x∈M,存在εx>0使得F(x,(0,εx))∩M=,π(x,(0,εx))∩M=。注意到此时M中的点在系统(X,π)中的每一条轨道上都是孤立的。集合M称为脉冲集,映射I称为脉冲函数。 记N=I(M)并且对任意x∈M,记x+=I(x)。另外,记M+(x)=(C+(x)∩M)\{x}。 假设(X,πM,I)是一个脉冲半动力系统,x∈X,[0,T(x))R+(T(x)可以是+∞)。映射πx:[0,T(x))→X称为x在脉冲半动力系统(X,πM,I)中的脉冲轨,其中πx归纳地定义如下:令x=x0=x+0,如果M+(x0)=,那么对任意t∈R+,定义πx(t)=π(x,t)。此时T(x)=+∞。如果M+(x0)≠,那么由脉冲半动力系统的定义,可知存在s0∈R+使得π(x0,s0)=x1∈M并且对任意00使得π(x+1,s1)=x2∈M并且对任意00,x∈X,AX,则ρ(x,A)表示点x到集合A的距离,即ρ(x,A)=inf{ρ(x,y):y∈A}。集合Nr(A)={x:ρ(x,A)0,存在δ>0,对任意y∈Nδ(x),有f(y)Nε(f(x))。 类似地,我们称f在x点处下半连续,如果对任意ε>0,存在δ>0,对任意y∈Nδ(x),有f(x)Nε(f(y))。 可以证明,映射f在x点处上半连续当且仅当对任意收敛到x的序列{xn},有 sup{ρ(y,f(x)):y∈f(xn)}→0,n→+∞;(3) 映射f在点x处下半连续当且仅当对任意收敛到x的序列{xn},有 sup{ρ(y,f(xn)):y∈f(x)}→0,n→+∞。(4) 根据K上Hausdorff度量的定义,还可以进一步证明:映射f:X→K在点x处连续当且仅当f在点x处既上半连续又下半连续。 定义2[1]设(X,π)为脉冲半动力系统,如果{x+n}是无穷序列且T(x)=∑∞i=0si=+∞,则称πx是无限脉冲轨道。 注1记N={x∈N:πx是无限脉冲轨道}。 从脉冲半动力系统的观点看,只有无穷轨道才是有意义的。如果一条脉冲轨道只有有限多个不连续点或者是T(x)<+∞,那么经过一段时间后,轨道将回到无脉冲的情形,其性质也无异于非脉冲情形。 定义3[1]设(X,π)是一个脉冲半动力系统,x∈ X,AX非空。如果对A的每一个邻域U,都存在x的一个邻域V,使得(V\\M)R+U,则称A在点x稳定。进一步地,如果对A中的每一点y,集合A均在y点稳定,则称集合A稳定。 引理1设(X,π)是脉冲半动力系统,AX为非空子集,那么A稳定当且仅当对A的任一邻域U,存在A的一个邻域V,使得(V\\M)R+U。 证明设U为A的任一邻域。因为A稳定,因此,对任意y∈A,存在y点的邻域Vy,使得(Vy\\M)R+U。令V=∪{Vy:y∈A},显然V是A的一个邻域,且满足(V\\M)R+U;反之,假设U为A的任一邻域,y为A中任意一点。根据假设,对上述邻域U,存在A的一个邻域V使得(V\\M)R+U。又因为y∈A,即V也是y的邻域。记Vy=V,于是有对A的任一邻域U,存在y的一个邻域Vy使得(Vy\\M)R+U,因此,A在y点稳定。再由y点的任意性可知,A是稳定的。 定义4设(X,π)是一个脉冲半动力系统,x∈X,AX非空。如果对A的每一个邻域U,存在x的一个邻域V,对V\\M的每一个点y,存在τ=τ(y)使得y[τ,+∞)U成立,则称A在x点是最终稳定的。如果上述τ的选择不依赖于y,则称A在x点是一致最终稳定的。进一步地,如果对A中任意一点y,A在y点最终稳定,则称A是最终稳定的。 引理2设(X,π)是一个脉冲半动力系统,AX为非空子集,那么A最终稳定当且仅当对A的任一邻域U,存在A的一个邻域V,对V\\M中的每一点y,存在τ=τ(y)≥0使得y[τ,+∞)U。 证明设U为A的任一邻域。因为A最终稳定,因此对A中任意一点z,A在z点最终稳定。于是对A的上述邻域U,存在z点的邻域Vz,对Vz\\M中的任意一点y,存在τ=τ(y)使得y[τ,+∞)U。令V=∪{Vz:z∈A},显然V是A的一个邻域,且对V\\M中的任意一点y,存在τ=τ(y)使得y[τ,+∞)U;反之,假设U为A的任一邻域,y为A中任意一点。根据假设,对A的上述邻域U,存在A的一个邻域V,对V\\M中的任意一点z,存在τ=τ(z)使得z[τ,+∞)U。又因为y∈A,即V也是y的邻域 记Vy=V,于是,对A的任一邻域U,存在y的一个邻域Vy,对Vy\\M中的任意一点z,存在τ=τ(z)使得z[τ,+∞)U,因此,A在y点最终稳定。再由y点的任意性知,A最终稳定。 定义5设(X,π)是一个脉冲半动力系统,x∈X,AX非空。如果对A的每一个邻域U,都存在x的一个邻域V,任意y∈V\\M,存在序列tn→+∞使得ytnU,则称A在点x是最终弱稳定的。如果上述τ的选择不依赖于y,则称A在x点是一致最终弱稳定的。进一步地,如果对A中任意一点y,A在y点是最终弱稳定的,则称A是最终弱稳定的。 引理3设(X,π)是一个脉冲半动力系统,AX为非空子集,那么A最终弱稳定当且仅当对A的任一邻域U,存在A的一个邻域V,对V\\M中的每一点y,存在序列tn→+∞使得ytnU。 证明设U为A的任一邻域。因为A最终弱稳定,因此对A中任意一点y,A在y点最终弱稳定。即对A的上述邻域U,存在y点的邻域Vy,对Vy\\M中的任意一点z,存在序列tn→+∞使得ztnU。令V=∪{Vy:y∈A},显然V是A的一个邻域,且对V\\M中的任意一点z,存在序列tn→+∞使得ztnU。反之,假设U为A的任一邻域,y为A中任意一点,往证A在y点最终弱稳定。根据假设,对A的上述邻域U,存在A的一个邻域V,对V\\M中的任意一点z,存在序列tn→+∞使得ztnU。又因为y∈A,即V也是y的邻域,于是,对A的任一邻域U,存在y的一个邻域Vy,对Vy\\M中的任意一点z,存在序列tn→+∞满足ztnU。因此,A在y点最终弱稳定。再由y点的任意性知,A是最终弱稳定的。 本文中总是假定以下假设成立: (i)N∩M=,即对任意x∈X,x+nM,n=0,1,2,… (ii)Φ在X\\M连续 (iii)任意x∈X,如果Φ(x+n)<∞,n=0,1,2,…,则x∈N (iv)对任意x∈X,D+(x)是紧集。 显然,根据假设(iii),对任意x∈X,有T(x)=+∞。 3主要结果 定理1设(X,π)是一个脉冲半动力系统。x∈X\\M,那么映射D+(或K+)在x点上半连续当且仅当D+(x)(或K+(x))在x点稳定。 证明只证D+的情形,同理可证K+的情形。假设D+在x点上半连续,那么对任意ε>0,存在δ>0满足Nδ(x)∩M=,并且当y∈Nδ(x)时,有D+(y)Nε(D+(x))。进而,有 yR+D+(y)Nε(D+(x)),即Nδ(x)R+Nε(D+(x)),亦即(Nδ(x)\\M)R+Nε(D+(x)),于是D+(x)在x点稳定。反之,假设D+(x)在x点稳定,即对任意ε>0,存在δ>0使得(Nδ(x)\\M)R+Nε/2(D+(x))。因为xM,于是存在δ′>0使得Nδ′(x)(Nδ(x)\\M),即Nδ′(x)R+Nε2(D+(x))。任取y∈Nδ′(x),存在δ″>0使得Nδ″(y)Nδ′(x),从而有Nδ″(y)R+Nδ′(x)R+Nε/2(D+(x))。因此有D+(y)Nε(D+(x))对Nδ′(x)中的每一点y成立,即D+在x点上半连续。 定理2设(X,π)是一个脉冲半动力系统,x∈X\\M。那么,映射L+在x点上半连续当且仅当L+(x)在x点最终稳定。 证明假设L+在x点上半连续, 那么对ε>0, 存在δ>0, 当y∈Nδ(x)时, 有L+(y)Nε(L+(x))。于是对Nδ(x)中的每一个点y, 存在τ=τ(y)使得y[τ,+∞)Nε(L+(x))。特别地, 当y∈Nδ(x)\\M时, 存在τ=τ(y)使得y[τ,+∞)Nε(L+(x)),即L+(x)在x点最终稳定。反之, 假设L+(x)在x点最终稳定, 那么任意ε>0, 存在δ>0, 当y∈Nδ(x)\\M时, 存在τ=τ(y)使得y[τ,+∞)Nε(L+(x))。又因为xM, 于是存在δ′>0使得Nδ′(x)(Nδ(x)\\M)。对Nδ′(x)中的每一个点y, 同样存在τ=τ(y)使得y[τ,+∞)Nε(L+(x)),即L+(y)Nε(L+(x))对Nδ′(x)中的每一个点y成立, 因此,L+在x点上半连续。 定理3设(X,π)是一个脉冲半动力系统, x∈X\\M。如果映射J+在x点上半连续, 那么J+(x)在x点最终稳定; 反之, 若J+(x)在x点一致最终稳定, 那么映射J+在x点上半连续。 证明假设J+在x点上半连续, 对ε>0, 存在δ>0, 当y∈Nδ(x)时, 有J+(y)Nε(J+(x)), 进而有L+(y)J+(y)Nε(J+(x))。于是对Nδ(x)中的每一点y 存在τ=τ(y)使得y[τ +∞)Nε(J+(x))。 因此, J+(x)在x点最终稳定;反之, 假设J+(x)在x点一致最终稳定。 那么任意ε>0, 存在δ>0以及τ>0使得(Nδ(x)\\M)[τ,+∞)Nε/2(J+(x))。又因为xM, 于是存在δ′>0使得Nδ′(x)(Nδ(x)\\M), 即Nδ′(x)[τ,+∞)Nε/2(J+(x))。 进一步地, 对Nδ′(x)中的每一点y, 存在δ″>0使得Nδ″(y)Nδ′(x), 于是有Nδ″(y)[τ,+∞)Nδ′(x)[τ,+∞)Nε/2(J+(x)), 即J+(y)Nε(J+(x))对Nδ′(x)中的每一点y成立, 因此, J+在x点上半连续。 4结论 本文主要研究了脉冲动力系统中极限集局部稳定性与相应极限集映射连续性之间的联系。首先,在脉冲动力系统中引入闭集在某一点处稳定的定义并讨论其相关性质,然后,参照连续动力系统中的情形,以度量空间中的HAUSDORFF度量为工具,讨论脉冲动力系统中两类特殊的闭集,即正延伸集和正延伸极限集的稳定性与相应的集值映射的连续性之间的关系。结果表明:映射D+(或K+)在x点上半连续当且仅当集合D+(x)(或K+(x))在x点稳定,映射L+在x点上半连续当且仅当L+(x)在x点最终稳定;如果映射J+在x点上半连续,那么J+(x)在x点最终稳定;反之,若J+(x)在x点一致最终稳定,那么映射J+在x点上半连续。 本文结果是一般连续动力系统中有关结论的推广,采用的方法和得到的结论是对脉冲系统中稳定性研究的有益补充,也为后续有关吸引子和回复性的研究奠定了基础。但本文没有涉及轨道的稳定性,闭集或轨道的稳定性与吸引子、回复性之间的关系,有待后续进一步的研究。